شرح موضوع الزمره لماده الرياضيات لمرحله الرابع العلمي 2013

اع ـــضاء ح ـــزن الع ـــشاق



اليوم موضوعنا وطرحنا في القسم بخصوص

شرح موضوع (الزمــــــره) لماده الرياضيات لمرحله
الرابع العلمي 2013

الشــــــــــــــرح:

قبل ان ندخل عالم الزمره هناك مصطلحات يجب معرفتها(1) العمليه الثنائيه : تسمى ثنائي
لانها تجري بين عنصرين مثلا عمليه الجمع نقول(3+6=9) اي عمليه الجمع حصلت للعنصرين
3و6 والنتج هو 9 فاذا جرت اي عمليه بيت عنصرين ينتميا ن لمجموعه ولنسمهاx وكان الناتج في
المجموعه سميه هذه العمليه (ثنائيه )او مغلقه أوداخليه مثلا عمليه ضرب الاعداد الحقيقيه عمليه ثنائيه
لان (عدد حقيقي × عدد حقيقي= عدد حقيقي)ولكن عمليه طرح الاعداد الطبيعيه ( ثنائي) لان
(5)-(8)=-3 العددان 5و8 عددان طبيعيان ولكن الناتج عدد غير طبيعي. لذا تعرف العمليه الثنائيه
رياضيا ( توجد مالانهايه من العمليات سنرمز لها برموز ونعرفها):
لتكنA مجموعه غير خاليه فان اي اقتران منالمجوعهA×Aالى المجموعهAه يسمى عمليه ثنائيه
وبصور اوضح اذا كان a,bعنصران من المجموعهA واجرينا بينهما العمليه(*) بحيث (a*b)هو
ايضا عنصربنفس المجموعه. امثله
(1)عمليه الجمع بالساعه ليست كعمليه الجمع الاعتياديه فعندما نقول الساعه الان العاشره بعد 7ساعات
كم تكون الساعه الجواب الساعه الخامسه ولكن(10+7=17) اي ان عمليه الجمع نختلف وتعتمد على الباقي 0لذا نعرفها كما يلي باقي قسمه (a+b)على12حيث 10+7=17 عند قسمتها على 12 الباقي5
(2)الخاصيه التجميعيه: لو اخذتا ثلاث اعداد وجمعنا (الاول والثاني وجمع الناتج مع الثالث)أو( جمعنا الثاني والثالث والناتج جمع مع الاول ) وكان النواتج متساويه سميت العمليه تجميعيه والحمع هنا كمثال
7+9=16ولو جمعت مع 8اي 16+8=24 ولو جمعت بشكل اخر 9+8=17 تجمع مع 7=24
(3) النصر المحايد هو العنصر الذي لايؤثر على العمايه مثلا الصفر عنصرمحايد للجمع لان a+0=0+a=a والعدد (1) محايد ضر بي لانa=a×0=0×a ولا يعتبر الصفر محايد للطرح
صحيح ان a-0=a ولكن 0-a=-a وبصوره عامه يرمز للعنصرالمحايدب(e)
(4) النظيراذا جمعنا عنصرين وكان مجموعهما =0 نقول ان العنصران متناضرين مثلا (8)+(-8)=0 وبصوره عامه يقال لعنصرين في مجموعه انهما متناظران اذا اجرينا عمليه معينه بينهما وكان ناتج هذه العمليه= العنصر المحايد لها لجميع عناصر المجموعه. مثلا في الاعداد الحقيقه Rلجيع العناصر نظائر الا الصفر لعمليه الضرب لذا نقول ليس لها نظائر ضربيه. وتكتب:




a نظير a

النظام الجبري:لتكن Aمجموعه غير خالبه( اي تحوي عنصرواحد على
الاقل. يسمى الزوج المرتب(A,*)نظام جبري ذو عمليه واحده(على شرط
العمليه(*) عمليه ثنائيه واذا كانت المجموعه Aمعرفه عليها عمليتين جبريتين
يكتبA,*,o)ويسمى نظام ذو عمليتين

الزمره:يقال للنظام الرياضي (*,A)انه زمره اذاتحققت الشروط
الاتيه
(1) النظام*,A) تجميعي اي انه اذاكانتa,b,cعناصر فيAيجب
ان يتحقق(a*b)*c=a*(b*c)
(2)للعمليه (*) عنصر محايد(e):اي انه لاي عنصر aفي
Aفانa*e=e*a=a
(3) لكل عنصر نظير بالنسبه للعمليه (*):a*a=aً=aً*a
اذا كانت العمليه(*) ابدالي اي ان a*b=b*aيقال للنظام انه زمره ابداليه

اتمنى لكــم الاستفـــاده
ريمــــاس